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矩阵可逆是什么意思(怎么一眼看出矩阵可逆)
admin2024-01-04 04:13:58奇闻怪事59人已围观
简介大家好,今天小编来为大家解答以下的问题，关于矩阵可逆是什么意思，怎么一眼看出矩阵可逆这个很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！一、矩阵a可逆说明什么矩阵可逆从几何上来说，证明这个矩阵是满秩的，也就是如果用它的所有行向量线性组合，一定可以铺满整个n维空间，如果用它的所有列向量线性组合，也一定可以铺满整个n维空间。（但是这并不证明两两行
大家好,今天小编来为大家解答以下的问题，关于矩阵可逆是什么意思，怎么一眼看出矩阵可逆这个很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
一、矩阵a可逆说明什么
矩阵可逆从几何上来说，证明这个矩阵是满秩的，也就是如果用它的所有行向量线性组合，一定可以铺满整个n维空间，如果用它的所有列向量线性组合，也一定可以铺满整个n维空间。
（但是这并不证明两两行向量之间正交，除非该矩阵不仅可逆，还正交，列也同理。）
在代数上来说，矩阵可逆证明矩阵A和某个矩阵左乘或右乘一定能得到I。换句话说，暗示了矩阵A可以类似于普通代数里边，用作分母。
二、如何证明一个矩阵可逆
证明一个矩阵可逆的方法有5种；
（1）看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；
（2）看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；
（3）定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵；
（4）对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；
（5）对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。
三、为什么矩阵是可逆矩阵
证明矩阵可逆的方法如下：
1、矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之可逆。
2、矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之可逆。
3、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。
4、对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。
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逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
定义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E。并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
性质
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）－1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）－1=（A-1）T(转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明：
1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。
2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）＝（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）－1和A，因此相等。
4、矩阵A可逆，有AA-1=I。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。
而（AT）－1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）－1=（A-1）T。1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）＝A-1O=O而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I。得B-C=O，即B=C。
好了，关于矩阵可逆是什么意思和怎么一眼看出矩阵可逆的问题到这里结束啦，希望可以解决您的问题哈！
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