三阶非零矩阵是什么意思（非零矩阵值为0意味着什么）

特征值和特征向量

通过相似矩阵的概念，两个相似矩阵代表不同基下的同一个线性变换。这并没有告诉我们如何选择向量空间的基以使线性变换具有更简单的矩阵表示。例如，对角矩阵

类似于矩阵。

但显然，事情比这简单得多。

特征值和特征向量定义背后的目的之一是为我们提供选择良好基础的工具。尽管如此，理解特征值和特征向量还有很多其他原因。

定义设为线性变换。那么非零向量就是的特征向量，标量就是对应的特征值，如果满足以下方程：

如果对于矩阵，非零列向量将是具有特征值的特征向量如果

从几何角度来看，线性变换是线性拉伸其特征向量对应的特征值。喜欢

幸运的是，有一种简单的方法来描述方阵的特征值，这将使我们看到矩阵的特征值在相似变换下保持不变

命题标量是方阵的特征值当且仅当它是以下多项式的根

该多项式称为矩阵的特征多项式。

定理令sum 为相似度矩阵。那么A的特征多项式等于B的特征多项式。

因为相似矩阵的特征多项式是相同的，这意味着特征值一定是相同的。

推论相似矩阵的特征值相等。

如果要判断两个矩阵是否相似，可以进行计算，看看这些特征值是否相等。如果不是，则矩阵不相似。

通常，具有相等的特征值并不强制矩阵彼此相似。例如，矩阵和矩阵都有特征值1和2，但它们并不相似。

由于特征多项式在相似变换下是不变的，因此的系数在相似变换下也是不变的。但由于的系数本身就是矩阵A 项的（复）多项式，因此我们现在有一些在相似变换下不变的A 项的特殊多项式。我们已经看到其中一个系数以另一种形式出现，即A 的行列式，如下面的定理所示。这个定理更重要地将A的特征值与行列式联系起来。

定理设为矩阵的特征值并计数倍数，则

这里，我们需要讨论一下“多数”计算特征值的思想。困难在于多项式可能有一个必须计算多次的根（例如，多项式有一个2 的根，我们要计算两次）。对于特征多项式可能会发生这种情况。例如，假设矩阵的特征多项式为

最后，回到确定表示线性变换的“良好”基础。一个好的衡量标准是矩阵与对角矩阵的接近程度。我们将把自己限制在一个特殊但非常普遍的类别：对称矩阵。

定理如果一个矩阵是对称的，那么存在一个类似于的矩阵，它不仅是对角线，而且沿对角线的元素恰好是的特征值。

对于非对称矩阵，还有其他标准方法可以找到“好的相似矩阵”，例如乔丹标准形式、上三角形式和有理标准形式。

Tags： 特征  矩阵  相似  

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