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德邦快递单号详细查(德邦快递单号查询官网)

2022-08-27 12:26:58网络趣梗0人已围观

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　　上帝创造的数学公式

　　 1743年，著名数学家欧拉在一篇公开发表的论文中首次得到如下结果。

　　 (欧拉公式)EIT=costisint

　　其中e是自然常数，其值约为2.718；Cos和sin分别是余弦和正弦函数；I是虚数，满足I 2=-1。当t=，cos =-1，sin =0时，则上述公式变为

　　 (欧拉公式)ei 1=0

　　第二个公式流传更广，五个最著名的数学常数都聚集在一个简短的公式中：

　　 0，1，I(虚数)，(圆周率)，E(自然对数)

　　所以第二个公式也被数学家称为“上帝创造的数学公式”。

　　第二，解构欧拉公式。

　　我们来看看欧拉公式中的五个常识。

　　 0，1，I，，e

　　和三个功能。

　　工厂交货价，成本，原价

　　 0和1就不用说了，而我在我们之前的文章《复数——几何直观和代数运算的交响乐》里已经解释的很透彻了。是单位圆(半径为1的圆)周长的一半。还有函数cost，sin t，它们分别代表单位圆周上(以原点为中心)逆时针偏离(1，0)点弧一个长距离t的点的横坐标和纵坐标，

　　当我们得到自然函数E和指数函数ex时，问题就出现了，

　　自然常数E为什么叫自然？

　　指数ex当x是一个有理数时，它可以由幂和根号来定义，

　　一般实数有必要用极限定义吗？

　　欧拉公式中，指数函数ex甚至取x的值为虚数，那么应该如何定义呢？

　　这些问题就是欧拉公式给很多人留下神秘印象的原因。要把欧拉公式和这么多问题解释清楚，应该选择从哪里入手？

　　第三，起点

　　我们选择的出发点是幂级数定义的函数E(x)。

　　在座的很多人可能要问：

　　为什么选择这个幂级数作为起点？

　　只有这样，才能最方便有效地理解欧拉公式。请拭目以待！

　　非常重要的是要注意，这个函数E(x)可以定义为所有复数x。

　　好了，接下来，从这个起点出发，我们将推导两个方程(微分方程，泛函方程)和一个共轭方程，这些都是我们理解欧拉公式必不可少的！

　　 (函数方程)E(x)E(y)=E(x y)

　　我们直接推导出这个函数方程：

　　请注意，二项式定理用于推导的最后一步。函数方程其实就是二项式定理的母函数表达式。换句话说，

　　函数和二项式定理是等价的。

　　 (除了二项式定理，还有很多组合恒等式可以写成母函数。有兴趣的朋友可以自行探索。)

　　如果我们点菜的话，我们就言归正传吧

　　然后根据函数方程，

　　 E(2)=E(1)E(1)=e2

　　 E(3)=E(2)E(1)=e3

　　所以E(x)=ex对所有的整数x都成立。根据函数方程

　　 E(1/3)E(1/3)E(1/3)=E(1/2)E(1/2)=E(1)=E

　　因为E(1/2)和E(1/3)都是正数，所以

　　 E(1/2)=e1/2

　　 E(1/3)=e1/3

　　可以进一步推导出E(x)=ex对于所有有理数和所有实数(取极限)都成立。所以E(x)是指数函数ex的推广。对于复数x，我们也把E(x)写成ex。例如，企业所得税是：

　　 (微分方程)(ex )=ex

　　你可以通过逐项微分得到这个微分方程：

　　相信很多人都知道E可以用复利来理解：

　　如果有人借你1万块钱当高利贷，年化利率100%，一年结清后你要还他2万。但是如果他半年结清，就是(1 1/2)万，然后借给你，半年结清，那么就是(1 1/2)两万=两万两千五。如果每四个月结算一次，那一年后就是(1 1/3) 3万2.37万。如果把一年分成很多甚至无数个时间段，连续结算复利，最后的结果就是极限。

　　这个极限也是2.718左右。也就是说，最初的1万元，一年内连续复利，最后变成了27180元左右。

　　另一方面，当x从0到1连续变化时，函数ex的值从1增加到e，ex的微分方程表明，这种增长模式以自己的值作为每一时刻的增长率，与上述复利模式相同。所以我们从ex的微分方程可以直观的看到

　　 e是指单位时间内单位量的‘自然增长’所获得的量，所以称为自然常数。这种自然生长模式在自然界中经常遇到，比如细菌和其他微生物的繁殖。

　　在讲函数ex的共轭方程之前，我们先来复习一下共轭复数的概念：

　　复数z=x yi的共轭复数定义为z=x-yi，对应平面上关于x轴对称的两点。

　　很容易证明共轭、加法和乘法是可交换的：

　　两个共轭复数的乘积正好等于模的平方：

　　 zz=

　　 (共轭方程)

　　这个等式的推导也很简单：

　　共轭等式告诉我们，函数ex在一对共轭复数处取的值也是互为共轭的。

　　四，揭开欧拉公式的神秘面纱

　　我们现在重新来审视欧拉公式

　　 (欧拉公式) eit＝cost+isint

　　这个公式的左边是一个定义在整个实数轴上的复值函数，也就是说，对于每个实数t，都对应着唯一的复数eit。我们在文章《复数——几何直观和代数运算的交响乐》中讲过，复数和平面上的点一一对应。所以如果我们把数轴看成时间直线的话，

　　 eit就可以看作是一个质点在平面上的运动，在t 这个时刻，质点的位置是eit。

　　但是这个公式的右边也是一个定义在整个实数轴上的复值函数，也可以看作是一个质点在平面上的运动。我们在第一节中说过，函数cost，sin t 分别表示(以原点为圆心的)单位圆周上，逆时针偏离(1,0)点弧长距离为t的点的横坐标和纵坐标，

　　也就是说，在时刻t，质点在单位圆周上走过长度为t的路程。换句话说，欧拉公式的右边代表质点绕单位圆做逆时针匀速圆周运动，速度为1。

　　所以，我们要说明欧拉公式的左边eit也代表质点绕单位圆做逆时针匀速圆周运动。我们先来说明为什么函数eit的值总是落在单位圆周上。根据ex的共轭等式

　　而根据ex的函数方程

　　所以eit也确实代表质点在单位圆上的运动。如何说明这种运动是逆时针匀速呢？我们可以看它的速度向量，也就是eit的导函数。根据ex的微分方程，我们有

　　所以，每个时刻的速度向量都是位置向量顺时针旋转90度，

　　因此eit确实也代表质点绕单位圆做逆时针匀速圆周运动，速度也为1。

　　所以，既然左右两边的函数代表的是同一个运动，欧拉公式自然就成立了。另外，在时间 t=π时，质点刚好走过半圆周，达到点(-1,0)。这时欧拉公式就变成

　　根据ex的函数方程，

　　利用欧拉公式，这个等式可以写成

　　大家能不能看出来这实质上就是三角函数的和差化积公式。实际上，在以欧拉公式为背景之下

　　 ex的函数方程和三角函数的和差化积公式是等价的！

　　四，高观点下的欧拉公式

　　上一节讲过，欧拉公式可以看作单位圆上的匀速圆周运动。现在我们把欧拉公式和函数eit看成是实数轴到单位圆的函数或映射。

　　直观上看，这种映射可以看作线环绕圆周

　　其实，实数轴和单位圆都是最特殊的李群。我们简单说明一下，首先实数有加法运算，有单位元0，还有加法运算的逆运算减法，而且这些运算都可以看成是二元光滑(无限可微)函数，这些性质大体上构成了李群的定义。类似地，所有模为1的复数(对应单位圆上的点)上有乘法运算，也是可逆的，也有单位元1，也满足光滑条件，所以也是一个李群。

　　根据ex的函数方程，

　　所以函数eit把实数的加法转化成单位圆上的乘法，因此欧拉公式可以理解为两个李群之间的同态，这是李群同态最简单的例子。(所谓的同态就是一个李群到另一个李群的光滑映射，把单位元映射成单位元，且把一个李群的运算转化成另一个李群的运算)

　　从拓扑的角度来看，欧拉公式所表示的实数轴到单位圆的映射其实是单位圆的万有复叠映射。这个万有复叠映射表明单位圆的基本群(一个拓扑不变量)是非平凡的，而这个事实是代数学基本定理的拓扑证明的基石。

　　实数轴到单位圆的这个映射还可以从李代数的角度来理解，这时，实数轴代表单位圆在单位元处的切空间。

　　这种映射可以推广到任意李群和李代数，不过我们只提一个简单的推广：行列式非零的n阶方阵群(运算是矩阵乘法)，和n阶方阵李代数。(注意单位圆上的复数可以看成是1阶方阵)

　　这个时候的映射是定义为：

　　 n阶方阵→ 行列式非零的n阶方阵

　　大家注意这是指数函数ex的幂级数展开的直接推广，这也是我们选择ex的幂级数作为起点的另一个原因！

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