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纯虚数是什么意思（纯虚数和非纯虚数）
admin2024-03-29 19:52:58网红美食78人已围观
简介有时，人文科学的发展需要超越传统的思维方式。20世纪初，两次物理学革命——爱因斯坦的相对论（先是特殊意义上的，然后是一般意义上的）——和量子力学——带来了对数学的需要，而仅使用实数所需的工具却不能令人满意。从那时起，由实部和虚部组成的
有时，人文科学的发展需要超越传统的思维方式。 20世纪初，两次物理学革命——爱因斯坦的相对论（先是特殊意义上的，然后是一般意义上的）——和量子力学——带来了对数学的需要，而仅使用实数所需的工具却不能令人满意。从那时起，由实部和虚部组成的复数就与我们对宇宙的理解密不可分。
从数学上来说，当我们想到数字时，我们可以想到几种不同的分类方法：
可数数：1、2、3、4等。这样的数有无数个。自然数：0、1、2、3等。这些数字与可数数相同，但也包括零。整数：…,3,2,1,0,1,2,3 等。这可能看起来不多，但意识到我们可以有负数是一个巨大的突破，并且负数的数量与正数。整数包括所有自然数及其负数。有理数：任何可以表示为一个整数除以另一个整数的数字。这包括所有整数（可以表示为自身除以1）以及每个整数之间的无限个有理数。任何无限循环的小数都可以用有理数表示。实数：包括所有有理数和所有无理数，如不完美平方的平方根、等无理数。任何有理数与任何无理数之和都是无理数，但两个无理数之和可能是有理数。然而，虽然正数的平方根是实数，但负数的平方根没有明确定义。至少，直到数学家发明虚数之前它才被定义！
虚数与实数一样，只不过它们可以乘以i—— 或-1。数字也可以是复数，它既有实部(a) 又有虚部(b)，通常用(a bi) 表示。
现在您已经知道它们是什么了，下面是我认为关于虚数最有趣的5 个事实！
1. i 的平方根既有实部又有虚部。负实数的平方根是纯虚数，但是纯虚数的平方根必须同时具有实部和虚部！您可以通过以下方式证明自己。您需要一个等于(-1) 的平方。假设它有一个实部x和一个虚部y，那么我们可以把它写成(x yi)，然后我们就可以算出x和y的值是多少。
同时对两边进行平方
现在我们让实部对应实部，虚部对应虚部。
通过这两个方程，我们可以将右侧方程中的x代入左侧方程，
然后我们可以求解y：
正如您所看到的，有两种可能的解，如果我们使用方程的右侧（虚部）来求解x（两种情况下y 的值相同），我们会得到两个解：
这就引出了下一个有趣的事实……
2、i的任意根都有多个不同的解，第N个根有N个不同的解。对于正实数，平方根（即二次根）将给出两种可能的解：正数和负数。例如，(1) 可以是1 或-1，因为其中任何一个的平方都是1。
但对于i，也就是(-1)，如果你想求根，你需要做一个多项式方程，就像我们上面做的那样。问题是，多项式方程的阶数取决于我们取哪些根。因此，i的第三、第四、第五平方根必须满足：
因此，方程中的每个x 和y 都有3、4、5 个不同的解。例如，i 的立方根的三个解是：
（尝试将它们求立方并亲自看看！）这甚至还没有涉及更复杂的分数点，所以请继续阅读.
3.分子还是分母？在虚数分数中，i 是分子还是分母很重要。如果以分数形式考虑数字(-1)，无论您用(-1)/1 还是1/(-1) 来思考，结果都是(-1)。但对于我来说，情况并非如此！我问你，你觉得这个分数是多少？
看着它，你可能会认为它等于i，但实际上它是-i！
想要证据吗？只需将分数向上和向下乘以i，然后就可以看到。
因此，在组合或分解复杂分数时要小心；必须遵循一些复杂的规则才能获得正确的结果。通过违反它们，你可以做各种疯狂的事情，例如证明1=-1，这在数学上称为无效证明。
4. e、 和i 彼此相关。在数学中，我们可以用极坐标来表示二维坐标空间，它有一个以原点为中心的径向坐标（r）和一个极角（），如下所示：
极坐标和直角坐标的关系，图片来自Wiki
如果您使用实轴和虚轴而不是x 轴和y 轴，则可以执行相同的操作，只不过这次角度 将您带到实平面和虚平面之间。
欧拉公式，图片来自Wiki
令人惊讶的是，如果我们将-1 定位在实轴上，我们会得到一个很好的恒等式：
就是这样：e、i 和 之间存在简单但出人意料的关系。证明如下：
这些关系经常出现在复杂变量分析中。但如果你愿意考虑指数，最后一个事实就非常了不起。
5. i 的i 次幂是100% 真实的。考虑上图中的方程（欧拉公式）——，但我们不是指向实轴上的(-1)，而是指向虚轴上的i。在这种情况下，我们得到一个方程：
如果我们想知道i 的i 次方是多少，我们需要做的就是等式两边同时进行i 次方，
记住i的平方等于-1，那么我们可以发现：
它可能是真实的数字0.20787957635076……。
这些是关于虚数的5 个最有趣的数学事实！您对这些问题有什么要分享或评论的吗？请在下面留言。
本文作者为：【遇见数学翻译团】核心成员@Founder Michael。
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